evap5

calculo de vigas empotradas

Se denomina viga a una barra prismática, generalmente situada en posición horizontal que puede estar apoyada en dos o más puntos, o empotrada -como se verá más adelante- en uno de sus extremos. Cada punto de apoyo puede tener dos grados de libertad (desplazamiento según el eje x y giro alrededor de y, figura 1) o sólo uno (giro alrededor del eje y sin posibilidad alguna de desplazamiento). Si un apoya está empotrado, no tiene ningún grado de libertad (ni desplazamientos ni giros).

Llamaremos viga simplemente apoyadaaquella que presente dos apoyos: uno simple con dos grados de libertad, y otro simple son uno sólo (Figura 1a).

Llamaremos viga semiempotrada la que tiene un apoyo simple (dos grados de libertad) y otro sin ningún grado de libertad (empotrado, Figura 1b).

Viga con los extremos empotrados, cuando ambos apoyos no tienen ningún grado de libertad (Figura 1c).

Viga en voladizo aquella que tiene un extremo empotrado y el otro sin apoyo alguno.

Al apoyar sobre uno o varios puntos del plano central zy de una viga, cargas situadas en ese plano (fuerzas en la dirección –z), la viga se flexiona y toma una forma determinada, llamada elástica de la viga. Es importante estimar, en función de las características de la viga, de su forma de apoyo en los extremos y de las cargas que actúan sobre ella, la deformación máxima, llamada flecha, así como los puntos en los que las tensiones son máximas y los valores de estas. Un proyecto se considerará correcto, si esos valores no sobrepasan los fijados por las normas de construcción para estructuras metálicas.

Al aplicar las cargas ya mencionadas, se generan en los puntos de apoyo unas reacciones en la misma dirección de las cargas pero en sentido contrario, de tal forma que -una vez alcanzado el equilibrio estático- deberá cumplirse que la suma de las fuerzas sea nula:

El esfuerzo Cortante en las Vigas

Si se supone que cualquiera de las vigas representadas en las Figuras 1 se divide en dos trozos por una sección recta cualquiera situada a la distancia x del apoyo de la izquierda y que se prescinde del fragmento de la derecha de la sección, para que el trozo resultante se mantenga en equilibrio hay que suponer que en esa sección actúa una fuerza V(x) en la misma dirección y sentido contrario a las fuerzas que se ejercen sobre la viga, de forma que:

V(x) = R₁ − (P₁ + P₂ + ...) = R₁ − F(x)

F(x) es una función que depende de la distribución de las cargas sobre la viga. El equilibrio estático exige queR₁ + R₂ = F(L).. Cuando x = 0, V(x) = R₁ y cuando x = L, V(L) = - R₂. Esto significa que, en todos los casos, el valor V(x) pasa de un valor positivo a otro negativo. Siendo la función V(x) continua, deberá presentar en algún punto determinado de la viga un valor nulo: x = a, V(a) = 0.

La distribución de esta fuerza cortante en una sección cualquiera de la viga perpendicular al plano neutro, se puede considerar, en la mayor parte de los casos prácticos, uniforme en la dirección z, pero no en la y. Esta distribución depende de la forma de esta sección. Se exponen tres ejemplos:

a) Sección rectangular 

b) Sección circular 

c) Sección en I 

Como puede observarse, en todos los casos el valor máximo de la tensión cortante se sitúa en el centro de la figura (y = 0). El valor medio de τ se expresa como , la relación entre este valor y el máximo en cada caso vale:

a) Sección rectangular: El valor máximo vale  siendo , luego 

Puesto que definimos como , por consiguiente 

es decir, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largo de x, es un 50% mayor que la media.

b) Sección circular: Análogamente, se deduce que 

en este caso, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largo de x, es un 33% mayor que la media.

. c) Sección en I: 

El valor mínimo vale en este caso: 

En los perfiles laminados estándar el valor de b₁ es pequeño en relación con el de b y puede considerarse, a efectos prácticos, que Lla diferencia b − b₁ es muy pequeña , y por tanto, que la diferencia entre la tensión cortante máxima τ_M –en el plano neutro– y la mínima τ_o –en el plano superficial– es también pequeña y en por lo tanto, ambas próximas al valor medio. En este caso se puede admitir que el esfuerzo cortante presenta una distribución casi uniforme a lo largo del alma del perfil.

El valor de la sección a considerar viene dado, para cada perfil, en las tablas correspondientes como “Área de cortante” (Norma EC-3, art. 5.4.6.(2).a).

Los esfuerzos por Flexión en las Vigas

• Observaciones preliminares

---

En todo lo que sigue, se supone que:

a) Los materiales de las vigas (acero laminado) se comportan como sólidos de Hooke y son perfectamente homogéneos en todas las direcciones (isótropos).

b) Las cargas sobre una viga se sitúan siempre en el plano (y,z) de las figuras 1

c) La línea media de la viga es una curva plana.

d) La línea media de toda la viga está situada en un mismo plano. En lo que sigue, se tratará siempre del plano (x, y).

e) Cuando actúa una fuerza sobre la estructura, en la ecuación fundamental:

las derivadas con respecto al tiempo se suponen nulas; es decir, los movimientos se realizan con una velocidad infinitamente pequeña (cambios de estado termodinámicamente reversibles) y no se contempla régimen transitorio alguno. Las cargas que actúan sobre las vigas se hallan en equilibrio estático, no considerándose las consecuencias de los períodos transitorios.

f) El trabajo realizado por las fuerzas que provocan las deformaciones de las vigas se emplea íntegramente en incrementar su energía interna (energía elástica). No se produce intercambio alguno de calor y se conservan todas las propiedades del acero en todo momento.

• Efecto de las fuerzas actuantes

---

Sea cual sea la forma de la sección transversal de la viga, así como la manera como esté apoyada en sus extremos (incluido el caso de la viga en voladizo), y sea cual sea la distribución de las cargas a lo largo de x(puntuales o distribuidas de manera continua), la viga sufre una flexión que provoca la aparición de tensiones de extensión y compresión en sus diferentes secciones transversales. La máxima extensión en cualquier sección recta se produce en uno de sus extremos, tomando la tensión de extensión un valor nulo en la llamada fibra neutra, que se sitúa en el centro de gravedad de la sección considerada. Véase la Figura 2.

El valor de esta tensión máxima de extensión en una sección dada de abcisa x, viene dado por la expresión:

 en la que:

σ: valor de la tensión (fuerza/sección)

M(x): momento flector actuando en la secciónx (fuerza por longitud)

d: distancia entre la fibra más alejada de la línea neutra y esta

I_y: momento de inercia de la sección de la viga, respecto al eje y que pasa por su centro de gravedad (longitud a la potencia cuatro)

Al mismo tiempo se produce una flexión de la viga, que adquiere una forma determinada tanto por la distribución y valor de las cargas, como por la forma de la sección de la viga y la manera como está apoyada en sus extremos. La forma que toma esa viga, se representa por la ecuación de la línea neutra: v(x) = ψ(x) que se suele denominar ecuación de la elástica de la viga. El valor f, en cualquier punto x de la viga,

f(x) = |v(x)| se denomina flecha de la viga en ese punto. Su valor máximo a lo largo de x, representa la máxima deformación sufrida por esta a causa de las cargas que soporta.

En la flecha y tensión máximas intervienen dos tipos de fenómenos:

a) de índole externa: la magnitud de las cargas y su distribución

b) de índole propia de la viga: sus dimensiones, y como una consecuencia directa de ellas, la altura de la viga (d) y el Momento de Inercia (I_y).

Un simple análisis dimensional del problema nos conduce a las expresiones siguientes:

En las que:

M(x): Momento flector actuando en la sección transversal x

ΣP : conjunto de cargas, continuas o discontinuas o combinación de ambas

E: módulo de elasticidad

I_y: momento de inercia de la sección de la viga con relación al eje y

v(x): la flecha en la sección x

Γ(L,x) y Ψ(L,x) son funciones dependientes de la forma en que se distribuyen las cargas sobre la viga de longitud entre apoyos L y de la forma de los apoyos en los extremos. En la bibliografía pueden encontrarse tablas en las que se recogen los diferentes valores de estas funciones(1).

Del análisis de estas expresiones se deducen los valores máximos de σ y v. Estos deberán estar por debajo de los fijados como límite en el proyecto del que forman parte.

Puestos que las cargas a que se verá sometida la viga son un dato del problema (externo a la decisión del proyectista), el resto de los valores pueden y deben ser elegidos por el proyectista de manera a optimizar el resultado de la estructura en estudio. Los criterios de optimización suelen ser frecuentemente de naturaleza económica, que a su vez está directamente unida al peso de la estructura y al costo de la mano de obra para construirla. El peso de la estructura depende de la sección del (o de los) perfil(es) y su longitud; esta última suele ser un imperativo derivado del propio proyecto.

Si el momento flector en una sección dada es nulo, se deduce inmediatamente que las tensiones de extensión por flexión son nulas. Este el es caso de vigas apoyadas en extremos que pueden tener un giro libre alrededor del eje y. Es el caso, por ejemplo, de los dos extremos de la figura 1a, o del extremo izquierdo en la 1b. No ocurre lo mismo en los extremos empotrados, donde los momentos se producen en función de las cargas y de la rigidez del material (módulo de elasticidad E).

codificacion

1

 2

 3